sábado, 14 de agosto de 2010

Porque un espejo parabólico concentra los rayos reflejados en su foco?


PORQUÉ UN ESPEJO PARABÓLICO CONCENTRA LOS RAYOS DE LUZ QUE LE LLEGAN EN UN PUNTO FIJO LLAMADO FOCO?

  1. Que es una parábola?

Una parábola es el conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto y de una recta.

(El punto se llama foco y la recta directriz)





Figura 1

Si P es un punto de la parábola, entonces PF = PA.

En el plano cartesiano de la figura, el foco F está ubicado en F(0, p) y la directriz es la recta

y= - p.

La ecuación de esta parábola, cuyo eje de simetría es el eje y, cuyo vértice es V(0,0), cuyo foco es F(0, p) y cuya directriz es la recta y = - p es:

4py= x2 , (1)

2. Una propiedad importante de la parábola.

Teorema.

En cada punto de una parábola, la recta tangente es la bisectriz del ángulo que forman la recta PF y la distancia de P a la directriz, es decir el segmento de recta PA.

Corolario. Igualmente, la recta normal es la bisectriz del ángulo suplementario correspondiente.

Vamos a demostrar esta propiedad.





Figura 2

Si P es un punto de la parábola, entonces el triángulo PFS es un triángulo isósceles (PF =. PS), sea PM la recta tangente a la parábola en P.

Aplicando la fórmula que nos da la pendiente si conocemos dos puntos, encontramos la pendiente de la base del triángulo FS.

La pendiente de la recta FS es mb= - 2p/a

La derivada de la parábola es y’=x/2p, que aplicada al punto P(a, a2/4p) nos da la pendiente de la recta tangente:

mt = a/2p

Por lo tanto

mb mt = -1

y por consiguiente, la recta tangente es perpendicular a la base del triángulo isósceles PFS.

Debido a lo anterior, PM es a la vez altura, mediatriz, mediana y bisectriz en el triángulo isósceles PFS y por tanto la recta tangente biseca el ángulo FPS

El Corolario resulta evidente.

La recta normal a la parábola en el punto P biseca el ángulo suplementario a FPS es decir el ángulo FPA , (2)

3. Qué es un paraboloide elíptico?

Un paraboloide elíptico es una superficie que cumple las siguientes condiciones:

a) Tiene un eje de simetría.

b) Tiene un punto sobre ese eje de simetría, el cual se llama vértice.

c) Si trazamos un plano perpendicular al eje de simetría en el vértice, toda la superficie estará a un solo lado de ese plano.

d) Las intersecciones de la superficie con planos que contengan el eje de simetría son parábolas.

e) La intersección de cualquier plano perpendicular al eje de simetría, que corte el paraboloide elíptico, será una elipse.


Figura 3

Un caso particular que nos interesa es el paraboloide circular, el cual se da cuando:

La intersección de cualquier plano perpendicular al eje de simetría que corte el paraboloide será una circunferencia y por consiguiente, las intersecciones de la superficie con planos que contengan el eje de simetría son parábolas idénticas.

4.El espejo parabólico.

Tomemos una sección de un espejo plano, tal como se indica en la figura 4.

Los rayos de luz que inciden en el espejo y son paralelos a la normal del éste, rebotan en la dirección contraria, conservando el paralelismo con el eje de la parábola.


Figura 4

Cuando un rayo de luz, forma un ángulo con la normal del plano, entonces el rayo reflejado forma un ángulo con la normal, igual al ángulo de incidencia. Figura 4

Cuándo un rayo de luz incide sobre un espejo curvo, el rayo identifica un plano infinitesimal, en el punto de contacto, cuya normal es la normal de la curva.



Figura 5

Cuando el rayo de luz incide sobre el espejo curvo, identifica un plano infinitesimal, el cual tiene una recta normal. Esta recta normal será la bisectriz del ángulo formado por los rayos entrante y saliente. (Figura 5)

Para el caso de la parábola, recordemos que el ángulo que forman la distancia focal y la proyección de la distancia a la directriz (que es paralela al eje de la parábola) es bisecado por la recta normal, por consiguiente, en el caso de la parábola, si el rayo que entra es paralelo al eje de la misma, el rayo saliente tendrá que pasar obligatoriamente por el foco de la parábola. Figura (6)






Figura 6

5.Antenas

Una antena es un dispositivo cuya finalidad es emitir o o recibir ondas electromagnéticas. La antena transmisora convierte voltajes en ondas electromagnéticas, y una receptora realiza la función inversa.

Existen muchos tipos de antenas, pero en nuestro caso sólo vamos a mencionar las que tienen forma de paraboloide circular, porque están relacionadas con el tema que venimos tratando.

La antena con reflector fue inventada en 1888 por Heinrich Hertz, quien demostró experimentalmente la existencia de las ondas electromagnéticas, que hasta la fecha se mencionaban, pero que no se habían podido materializar El experimento se hizo con una antena paraboloide circular construida en zinc. Como las ondas electromagnéticas son de la misma naturaleza de la luz, aquellas que inciden en forma paralela al eje del paraboloide se concentran en el foco de las parábolas. Si se trata de emitir ondas electromagnéticas, las ondas que emanan del foco (dispositivo de emisión) se ven reflejadas y abandonan el reflector en forma paralela al eje de la antena.

Las antenas parabólicas se utilizan extensamente en sistemas de comunicaciones en las bandas de UHF a partir de unos 800 MHz y en las de SHF y EHF. Son fáciles de construir y tienen una elevada direccionalidad.




Figura 7 Espejo parabólico de la nasa

http://ciencia.nasa.gov/headlines/y2008/images/moonscope/mirror.jpg



http://www.grahi.upc.es/menu/curs/graficos/x-radar.gif

En la figura se ve una antena parabólica utilizada en un radar.

Juan Fernando Sanin

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