lunes, 8 de noviembre de 2010

Problemas matemáticos relacionados con el viaje a Marte


Medellín, Noviembre 2010

PROBLEMAS MATEMÁTICOS ASOCIADOS AL VIAJE A MARTE

1. Fuerzas conservativas







Figura 1

Trabajo realizado por la fuerza de la gravedad.

dl en la dirección de la recta tangente a la trayectoria en P

La fuerza de atracción entre un planeta y el Sol es central y conservativa.

Una fuerza es central, cuando el vector posición r es paralelo al vector fuerza F, por tanto el Momento de la fuerza será MxF = 0. Si L es el momento angular:

M=dL/dt Como M=0, entonces L = Constante

Vamos a calcular el trabajo realizado por la fuerza de atracción F.

Las negrillas representan vectores.

F= -G (Mm/r2)ur

ur es el vector unitario en la dirección de r

θ es el ángulo agudo que hace el radio r con la dirección de la recta tangente en P.

El trabajo infinitesimal realizado por la fuerza F, para desplazar la masa m una distancia dl es el producto escalar del vector fuerza F por el vector desplazamiento dl, tangente a la trayectoria.

dw=F.dL = |F||dL|cos (180º -θ) = -|F||dL|cosθ = -|F|dr

dw=-|F|dr .............(1)

Donde dr es el desplazamiento infinitesimal de la partícula en la dirección radial.

Para encontrar el trabajo total realizado por la fuerza de gravedad, sobre la partícula de masa m integramos la fórmula (1), entre la posición inicial A, distante r1 del centro y la posición final B, distante r2.



Independiente de la trayectoria que se haya seguido para ir desde A hasta B.

El hecho de que la fuerza de atracción sea conservativa, implica que la energía total (cinética más potencial) de la partícula es constante, en cualquier punto de la trayectoria.

Et = mv2/2 + (-GMm/r) ...........(5)


Ahora consideremos la figura 2



Figura 2

La nave se encuentra o en el perihelio o en el afelio de la órbita elíptico.

a es el semieje mayor de la elipse.

b es el semieje menor de la elipse.

c es la distancia focal.

r1 es la distancia de la nave al foco en el perihelio PF.

r2 es la distancia de la nave al foco en el afelio FA

Si, las únicas fuerzas que actúan sobre el sistema son M del cuerpo grande en el foco y m de la nave u objeto que rota, el momento angular que tiene la nave cuando está en A se conserva cuando está en B

LA = LB ........Ley de la conservación del momento angular.

IAωA = IBωB

Donde ωA es la velocidad angular en A y ωB la velocidad angular en B, IA es el momento de inercia de la nave, respecto del Sol, cuando está en A e IB el momento de inercia cuando pasa por B.

mr12 v1/r1 = mr22 v2/r2 ...........(6)

Ya que

ω = v/r

v1r1 = v2r2 ...............................(7)

Ahora la energía total en A es igual a la energía total en B

(1/2)mv12 +(-GMm/r1) = (1/2)mv22 + ( -GMm/r2) ..(8)

Resolviendo simultáneamente las ecuaciones (7) y (8) encontramos las velocidades v1 y v2.

De la (7) despejamos v2 y llevamos este dato a la (8)

v2=v1(r1/r2)

(1/2)v12(1-r12/r22) = GM(r2 – r1)/r1r2

v12=2GMr2/(r1(r1+r2)

Como r1 + r2= 2a

v12 = GMr2/r1a

Recordemos:

Cuando la nave está en un punto cualquiera P de la curva su velocidad tangencial se puede calcular con:



1. Después de que la nave aterrice en Marte, cuánto tiempo hay que esperar allí, hasta que el alineamiento Tierra Marte sea el adecuado para el lanzamiento desde Marte?

Recordemos que tanto la ida, como el regreso tardan 258.9 días. Cuándo se hace el lanzamiento desde la Tierra, la situación está representada en la figura (3)


Figura 3

Posición relativa de la Tierra y Marte al momento del lanzamiento desde la Tierra.

Cuando la nave llegue al punto A, habrán transcurridos 258.9 días, durante los cuales Marte ha llegado al punto A y la Tierra ha avanzado un ángulo igual a:

258.9 días x 360º /365 días =255.35º

El ángulo que forman la Tierra y Marte será : 255.35º - 180º =75.35º

Ahora la posición de la Tierra y Marte está dada por la posición 1 de los planetas en la figura 4.





Figura 4

Posiciones relativas de La Tierra y Marte, cuando la nave aterriza en Marte y cuando se hace el lanzamiento de regreso, desde Marte.

Para realizar el regreso y garantizar que cuando la nave regrese a la Tierra, esta esté pasando por el afelio de la elipse de Hohmann, es decir que la nave y la Tierra estén en el mismo punto del espacio, la posición de Marte y la Tierra debe ser la que está marcada como 2 en la figura 4.

Cuánto tiempo tiene la tripulación que esperar en Marte?

La Tierra tiene que alcanzar a Marte, superarlo y viajar hasta que quede 75.35º detrás de Marte.

El ángulo barrido por la Tierra será x +360º

El ángulo barrido por Marte será 75.35º + x + 75.35º = 150.7º + x

El tiempo es el mismo.

El periodo de la Tierra es 365 días

El periodo de Marte es 686.9771días.


Por lo anterior, el viaje a Marte tardará:

Ida: 258.9 días.

Estadía en Marte: 452.7 días.

Regreso: 258.9

Total: 920.5 días =2.66 años



Juan Fernando Sanin

Juanfernando.sanin@gmail.com






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