Solución de ecuaciones cúbicas y repaso de números complejos.

Medellin, Febrero 2011

Solución de ecuaciones cúbicas y repaso general de números complejos

Ecuación de tercer grado

Primero encontremos la raíz cúbica de 1

x³=1

x³-1=0

(x-1)(x²+x+1)=0

Resolviendo la segunda parte

x²+x+1=0

x=(-1±√(1-4))/2=(-1±√(3)i)2

Las raíces son:

x=1

x=(-1 + √3 i)/2

x=(-1-√3 i)/2

Para el caso de la raíz cuarta de 1, resolvemos la ecuación:

x⁴=1

x⁴-1=0

(x²+1)(x²-1)=0

Cuya solución es:

x=1

x=-1

x= i

x= -i

Potencia de número complejo

Si n es positiva, tenemos una potencia entera.

Si n es negativa, tenemos una raíz entera.

Teorema de Moivre

(cosx + i senx) ⁿ = cos nx + i sen nx

Consideramos tres casos para exponente enteros.

Para n> 0, procedemos a través de inducción matemática. Cuando n=1, el resultado es claramente cierto. Suponemos que el resultado es cierto para algún entero positivo.

(cosx + i senx) ^k = cos kx + i sen kx

Ahora, considerando el caso n = k + 1

(cosx + i senx) ^k+1 = (cos x + i sen x)^k(cosx + i sen x)

(cosx + i senx) ^k+1 = (cos kx + i sen kx)(cosx + i sen x)

Hacemos este producto.

Por la hipótesis de inducción:

coskxcosx + i coskxsenx +isenkx cosx –senkx senx

coskxcosx –senkx senx + i(coskxsenx +senkx cosx)

Aplicando las formulas para el seno y el coseno de una suma, en sentido inverso, obtenemos:

=cos (kx +x) + i sen (kx+x)

=cos((k+1)x) + I sen (k+1)x)

Deducimos que el resultado es verdadero para n = k + 1 cuando es verdadero para n = k. Por el principio de la inducción matemática se desprende que el resultado es verdadero para todos los enteros positivos n≥1.

Cuando n = 0 la fórmula es evidente

Cuando n< n=" −m.">

(cosx + isenx)ⁿ = (cosx + i senx) ^–m

=1/(cosx + i senx) ^m

=1/(cosmx+i senmx)

Multiplicando numerador y denominador por cosmx – i senmx:

=cosmx – i sen mx

=cos(-nx) - i sen (-nx)

ya que cos (–a)= cos a y sen( –a) = - sen a, la expresión anterior se transforma en:

=cos nx + i sen nx

Con lo cual queda demostrado el teorema par n<0

Argumento (número complejo)

Un número complejo (x+iy) siempre se puede rescribir en la forma

r(cos θ + isin θ ),

en la que θ es el argumento. De ahí que, el argumento de un número complejo z(arg z) es el ángulo (normalmente positivo) que OP hace con el eje horizontal positivo Ox, en el que el punto P representa el número complejo z en un diagrama de Argand.

Al valor que se encuentra con tan^-1|y/x|, el cual queda en el primer cuadrante, lo

convertimos en un ángulo, de acuerdo con la posición real del vector z en el

intervalo [0, 2π)

Figura 1

Representación polar de un número complejo

Fórmula de Euler para números complejos

Conocemos las series de Taylor para representar e^x, senx, cosx

e^x =1+x/1!+x²/2!+x³/3!+x⁴/4!+....

cosx = 1- x²/2!+x⁴/4!-x⁶/6!+……

senx = x-x³/3!+x⁵/5!+……

Si aplicamos la fórmula de e^x para ix obtenemos:

e^ix =1+xi/1! - x²/2!-x³i/3!+x⁴/4!+x⁵i/5!......

e ^ix = cosx + i senx

e^{- ix} = cos-x + i sen-x =cosx – senx,

por lo que sumando obtenemos:

cosx =(e^ix+e^-ix)/2

I. El caso general de ecuación cúbica

Una ecuación de tercer grado con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica:

ax³ + bx² + cx + d = 0 ,

Donde a, b, c y d (a ≠ 0 ) son números reales. Recordemos la fórmula de la diferencia de números al cubo.

(a - b)³ = a³ - 3a²b +3ab² - b³

Basta con encontrar una solución, digamos r, pues al factorizar ax³ + bx² + cx + d

por x - r, obtenemos una ecuación de segundo grado que sabemos resolver, lo que dará las demás raíces. En un cuerpo algebráicamente cerrado, se sabe que todo polinomio de grado 3 tiene tres raíces. Es el caso del cuerpo de los complejos, según el Teorema Fundamental del Álgebra.

Los pasos de la resolución son:

Dividir la ecuación inicial por el coeficiente a (a ≠ 0 ). Se obtiene:

x³ + b'x² + c'x + d' = 0 con b' = b/a, c' = c/a, d' = d/a.

Proceder al cambio de variable por z = x + b'/3, para suprimir el término cuadrado. En efecto, al desarrollar (z - b'/3)³ con la identidad precedente, vemos aparecer el término -b'z², compensado exactamente por b'z² que aparece en b'(z - b'/3)². Se obtiene:

z³ + pz + q = 0, con p y q números reales.

Y ahora, el tip especial: escribir z = u + v.

La ecuación precedente da (u + v)³ + p(u+v) + q = 0.

Desarrollando: u³ + 3u²v + 3uv² + v³ + pu + pv + q = 0.

Reagrupando: (u³ + v³ + q) + (3uv² + 3uv² + pu + pv) = 0.

Factorizando: (u³ + v³ + q) + (u + v)(3uv + p) = 0.

Cómo se ha introducido una variable adicional (u y v en vez de z), es posible imponerse una condición adicional. Concretamente:

3uv + p = 0, que implica u³ + v³ + q = 0 .

Pongamos U = u³ y V = v³. Entonces tenemos U + V = - q y UV = - p³/27

Porque UV = (uv)³ = (-p/3)³.

Por lo tanto U y V son las raíces de la ecuación auxiliar (E)

X² + qX - p³/27 = 0, que se sabe resolver.

Luego u y v son raíces cúbicas de U y V (que verifican uv = -p/3),

z = u + v y

Finalmente x = z - b'/3.

Si u₀ y v₀ son estas raíces cúbicas de U y V, entonces las otras son

uo(-1+√3 i)/2 y uo(-1-√3 i)/2, y por supuesto vo(-1+√3 i)/2 y vo(-1-√3 i)/2.

II. El caso real

Las primeras ecuaciones de tercer grado que se intentó resolver, fueron con coeficientes reales (de hecho: enteros).

Se demuestra que el número de raíces reales depende del discriminante (multiplicado por 27) de la ecuación auxiliar E

Discriminante = D = q² + 4p³/27

Si D > 0 entonces U y V son reales.

Si D = 0 entonces U = V.

Si D < style="mso-spacerun:yes"> entonces U y V son números complejos.

Primer ejemplo

Sea 2t³ + 6t² + 12t + 10 = 0 Sigamos los pasos descritos en el primer párrafo.

t³ + 3t² + 6t + 5 = 0 (al dividir por 2)

Con x = t + 1, es decir t = x - 1 reemplazando: (x - 1)³ + 3(x - 1)² + 6(x - 1) +5 = 0

Desarrollando: x³ + 3x + 1 = 0

x = u + v, U = u³, V = v³ y nos imponemos U + V = - 1 y UV = - 1.

U y V son las raíces de X² + X - 1 = 0

Resolviendo esta ecuación obtenemos:

U= 0.6180339887 V= -1.618033988

u= 0.8517996420 v= -1.173984996

x=u + v = -0.3221853539

t=x-1 = -1.3221853539

Conocida esta raíz, factoricemos la ecuación:

t³ + 3t² + 6t + 5 = 0

(t+1.322185)(t²+ (3-1.322185)t+5/1.3221851.67t+5/1.322185)

(t+1.322185)(t²+ 1.677815t+ 3.781619)=0

Para saber si está bien factorizado, busquemos como quedó el término t

(3.781619+1.322185x1.677815)=6

Con la fórmula de la ecuación de segundo grado resolvemos:

t²+ 1.677815t+ 3.781619

t₁=-0.8389075 – 1.754381 i

t₂=-0.8389075 + 1.754381 i

t₃ = - 1.322185 (Ya lo conocíamos)

Segundo ejemplo

Este ejemplo es histórico porque fue el que tomo Bombelli, quien fue, con Cardano, el primero en resolver ecuaciones del tercer y cuarto grado por el método ya expuesto (en la Italia del renacimiento, en pleno siglo XVI).

La ecuación es x³ - 15x - 4 = 0.

Los dos primeros pasos son inútiles. Pasamos al tercero:

x = u + v , U = u³, V = v³.

U + V = 4 y UV = 125

U y V son las raíces de X² - 4X + 125 = 0, ecuación cuyo determinante es:

16 – 4*125=- 484 o sea que los valores U y V son números complejos.

Por lo tanto esta ecuación no tiene raíces reales., pero veremos que al encontrar u y v aparecerán raíces reales.

Hallamos U = 2 - 11·i y V = 2 + 11·i.

Extraer raíces cúbicas en los complejos no es lo mismo que en los reales. Hay dos métodos: uno geométrico, de acuerdo con el cual, el módulo de u es la raíz cúbica del modulo de U y tiene como argumento α, el argumento de U divido por tres, y otro algebraico, que emplea las partes real e imaginaria.

(a + bi)³ = a³ + 3a²bi +3ab²i²+b³i³ =a³- 3ab² +(3a²b - b³)i

Pongamos u = a + bi.

U=u³ = 2 - 11i equivale al sistema:

a³ - 3ab² = 2 (parte real) …………………...(1)

3a²b - b³ = - 11 (parte imaginaria) ……..... (2)

Resolver este sistema (1) y (2) nos lleva a otra cúbica, razón por la cual no parece ser una buena opción.

Utilizando el método gráfico, como una consecuencia del teorema de Moivre::

El módulo de U es √125 = 5 ^3/2

El de u será 5 ^½

Si tan ^-1 (-11/2) = -1.3909428 radianes, el argumento de U será:

θ=2π-1.3909428=4.892243 radianes, el vector está ubicado en el cuarto cuadrante.

Como el vector U está en el cuarto cuadrante hay que buscar un vector u tal que su argumento esté también en el cuarto cuadrante.

El argumento α de u también deberá caer en el cuarto cuadrante. Este argumento de u está definido por la fórmula:

α = (4.892243+2πk)/3 k= 0, 1, 2, 3….

Utilizamos como α el valor correspondiente al ángulo que la primera k, que nos lo ubique en el cuarto cuadrante.

Con k=0 y k=1 obtenemos un α que no queda en el cuarto cuadrante.

Con k = 2

α =5.819537705 que queda en el cuarto cuadrante.

u=√5(cos5.819537705+i sen5.819537705) =2- i

Obtenemos a = 2 y b = -1, o sea u = 2 - i, y v es su conjugado: v = 2 + i.

En conclusión, x = u + v = (2 - i) + (2 + i) = 4, lo que se verifica de inmediato.

Conocida una raíz, la cúbica la podemos reducir a una de segundo grado por el método de factorización enseñado en el ejemplo 1, la cual al resolver nos da las dos restantes soluciones:

Las otras raíces son x' = - 2 + √3 y x" = - 2 - √3.

Juanfernando.sanin@gmail.com