Conservación del momento angular

Medellín, Mayo 2010

MOMENTO LINEAL- MOMENTO ANGULAR - MOMENTO DE INERCIA.

1. Momento Lineal

Aunque esencialmente éste es un concepto vectorial, le daremos un tratamiento escalar.

La cantidad de movimiento de una masa m, que se desplaza sobre una línea recta es

P=Mv (1)

2. Momento de Inercia de una masa puntual, respecto de un eje de rotación.

La figura 1 nos muestra el problema en consideración:

Figura 1

El Momento de Inercia I, de la masa m, respecto del eje de rotación, será:

I=MR² (2)

3. Momento de inercia de una masa, cuyo volumen es un sólido continuo, respecto a un eje de rotación.

La figura 2 nos muestra el sólido en cuestión.

Figura 2

En el punto P(x, y, z) tenemos la masa dM = ρdxdydz

Donde ρ es la densidad del sólido en el punto P

R : distancia desde dm hasta el eje de rotación, que en este caso es el eje y.

R=√ (x² + z²)

La masa ubicada en el punto P es realmente un diferencial de masa que produce un diferencial de momento de Inercia.

dI =R²dM

I =∫R²dM para toda la masa (3)

Si P es la cantidad de momento lineal de toda la masa, entonces dP es el diferencial de este momento, debido al diferencial de masa ubicada en (x, y, z) y a la velocidad lineal en este punto v

Si definimos el momento angular de la masa puntual de la figura 1, como

L= RP= RMv=RMWR= MWR²

Si L es la cantidad de momento angular de la masa de la figura 2, entonces dL es el diferencial de momento angular, correspondiente a la masa ubicada en el punto (x, y, z).

Sea W la velocidad angular del sólido, respecto del eje mostrado.

dL =R dP= R(ρdxdydz)WR

dL =WR²dM (4)

L = WI

Donde I es el momento de inercia del sólido, respecto de su eje de rotación.

I = ∫ R²dM para toda la masa (5)

4. Momento de inercia de una masa de forma cilíndrica y densidad constante, respecto del eje principal.

La figura 3 nos muestra el problema en consideración

Figura 3

Todos los puntos de la cáscara cilíndrica tienen la misma velocidad lineal. El volumen de la cáscara es 2ρπyHdy

dI= y²dM= y²(2ρπHydy) (6)

I=MR²/2 (7)

Donde M es la masa total del cilindro.

5. Momento de Inercia de una masa cónica, de densidad homogénea, respecto del eje principal.

La figura 4 nos ilustra el problema

Figura 4

El volumen de la cáscara cilíndrica que se encuentra en el punto P(x, y) es Volumen=2πxydx

La masa de la cáscara será: dM=2πρxydx

dI=x²dM=x² 2πρxydx (8)

dI= 2πρx³ydx

De la figura se deduce que

y=H(1- x/R)

dI=2πρHx³(1- x/R)dx (9)

6. Momento angular

Al igual que en el caso del momento lineal, el concepto de momento angular, es estrictamente, vectorial. No obstante vamos a reducir el problema, con el fin de darle un tratamiento escalar.

Volvamos a la figura 1

Consideremos la masa diferencial ubicada en P(x, y, z)

El diferencial del momento lineal es

dP=vdM =WRdM

Y el diferencial de momento angular será:

dL=RdP=WR²dM

El momento angular de todo el sólido, será la suma de todos los momentos angulares de cada una de las pequeñas masitas dM en que podemos dividir el sólido.

L = WI

Donde w es la velocidad angular del eje e I es el momento de Inercia de la masa, respecto de ese eje.

7. Conservación del Momento Angular

Si consideramos un sistema rotante, sobre el cual, o bien no hay fuerzas externas, o si las hubiera el momento producido por estas es nulo, entonces el momento angular se conserva, cuando la masa cambia su distribución respecto del eje de rotación, sin que para ello medie ningún agente exterior, bien sea una fuerza o un momento.

Lo anterior es una extrapolación razonable del principio de Inercia, aunque tiene demostración y además es algo que es fácilmente probable en el laboratorio o en las observaciones astronómicas del sistema solar.

La expresión (10) se puede expresar así:

Para una masa m, que rota alrededor de un eje, si la distribución de la masa cambia, sin que para ello medie un agente externo, entonces

I₁W₁ = I₂ W₂ (11)

Ejemplo

Se tiene un cilindro de radio 0,5m y altura 2,0m, de densidad homogénea, el cual rota con una frecuencia de 50 revoluciones /minuto. Si sin agentes externos, el cilindro se deforma en otro cilindro de radio 1,0 m y conserva la densidad, cuál será la frecuencia y la velocidad angular en la segunda posición.

Figura 5

Solución

Ante todo es importante saber cuál es el valor de H en la segunda situación.

πρx0,5²x2,0=πρx1,0²H

por tanto

H=0,5m

El momento angular se conserva

I₁W₁=I₂W₂

W₁=50x360^o/min

Aplicando la formula las fórmulas 7 y 11

Conclusión

En Todas las artes y los deportes en los cuales se hacen vueltas, piruetas se aplica el principio de conservación del momento angular. Por ejemplo, para hacer una pirueta, una bailarina o una patinadora toman impulso con los brazos y una pierna extendida de manera de aumentar sus momentos de inercia alrededor de la vertical. Después, cerrando los brazos y la pierna, disminuyen sus momentos de inercia, lo cual aumenta la velocidad de rotación. Para terminar la pirueta, la extensión de los brazos y una pierna, permite de disminuir la velocidad de rotación. Lo mismo para el salto de plataforma o el trampolín.

Algunas estrellas se contraen convirtiéndose en pulsar (estrella de neutrones). Su diámetro disminuye hasta unos kilómetros, su momento de inercia disminuye y su velocidad de rotación aumenta enormemente. Se han detectado pulsares con periodos rotación de tan sólo unos milisegundos.

Debido a las mareas, la Luna ejerce un torque sobre la Tierra. Este disminuye el momento angular de la Tierra y, debido a la conservación del momento angular del sistema Tierra - Luna, el de la Luna aumenta. En consecuencia, la luna aumenta su energía alejándose de la tierra y disminuyendo su velocidad de rotación (pero aumentando su momento angular). Aunque en forma casi imperceptible la Luna se está alejando y el ciclo lunar se está aumentando.

Juan Fernando Sanin E