Este blog describirá en qué se fundamenta el cálculo de la distancia Tierra-Sol, a partir de la observación del tránsito de Venus por delante del disco solar. El cálculo es aproximado, ya que no es interés del blog que los lectores se sumerjan en las profundidades de las matemáticas y la física, sino que cualquier persona con conocimientos básicos de la secundaria, pueda entender el procedimiento.
Este cálculo distancia Tierra-Sol se basa en el efecto de perspectiva, por el cual, desde dos localizaciones diferentes en la Tierra, Venus se proyecta en lugares distintos sobre el disco solar. Por tanto se requieren dos observaciones de Venus desde la Tierra y mientras más estén alejadas la una de la otra, mejor será el efecto de paralaje y por tanto, mejor será la precisión de la medida
Para llegar a un resultado aceptable hay que tener en cuenta las leyes de Kepler que describen las órbitas de los planetas alrededor del Sol.
Vamos a utilizar un método simplificado para el cálculo de la distancia Tierra-Sol. Para éste, son necesarias observaciones simultáneas desde dos localizaciones diferentes y la cantidad que se mide es la distancia entre los centros de Venus sobre el disco del Sol, vistos desde los dos lugares.
Figura 1
- El diámetro aparente de un objeto en el cielo es el ángulo subtendido por el ojo y los extremos opuestos del objeto. En el caso del sol es el ángulo que subtiende el ojo y el diámetro real del astro.
- Desde cualquier punto de la Tierra, el diámetro aparente del Sol es el mismo. Igualmente, el diámetro aparente de una parte del Sol, o de una sombra de éste o de un objeto interior, también es igual.
- En el hipotético caso de que se pudiera observar la Tierra desde el Sol, el diámetro aparente de ésta es igual, sin importar el punto del Sol, desde el cual se haga la observación. Así mismo, el diámetro aparente de cualquier parte de la Tierra, visto desde el Sol, es igual, sin importar el punto desde el cual se hace la observación.
Simultáneamente, desde los puntos A y B separados por una distancia grande, digamos 8000km o mas, ojalá sobre el mismo meridiano, se toma una foto de Venus a la misma escala.
Los hilos horizontales y verticales de cada objetivo de las cámaras, deben estar en la misma posición, para que coincida la retícula.
Figura 2
Figura 3
Foto tomada desde B
Las fotos deben tener la misma escala.
Ahora, en el laboratorio, unimos las dos fotos, de tal manera que podamos tener en la misma foto los puntos C y D y por tanto el segmento DC. Si la foto lograra tomar una sombra u otra referencia en el Sol, el acople sería más exacto, ya que se harían coincidir las dos fotos en la referencia encontrada y eso nos garantizaría que la posición relativa de C y D es la correcta.
Figura 4
La foto que tenemos en el laboratorio es la del Sol y en ella están los puntos C y D.
Determinamos el centro del Sol. Para ello trazamos arbitrariamente dos cuerdas y a cada una de ellas le trazamos la mediatriz. (Perpendicular en el punto medio de la cuerda). Donde se corten las mediatrices se ubica el centro del Sol.
Conociendo el centro del Sol, podemos trazar un diámetro.
Luego medimos tanto el diámetro del Sol, como el segmento CD y tomamos la relación:
Longitud del segmento CD/Diámetro del Sol, ambos sobre la fotografía.
La foto debe ser por lo menos de 1mx1m o más, para que se puedan tomar medidas más o menos representativas.
Con esto, además de obtener la relación en la fotografía, hemos obtenido también la relación entre el paralaje real CD y el diámetro real del Sol (que es un dato medible en cada instante) y por tanto tendremos la relación entre el diámetro aparente del Sol (Que es conocido) y el diámetro aparente del segmento CD, que en la figura es el ángulo ∆
Este es el único dato que podemos obtener con las dos fotografías.
Veamos la figura 1
∆ABC Léase triángulo AVC
Analicemos los triángulos ∆ABC, ∆ABD y ∆AVC
ángulo CAD=ángulo CBD=α=β=∆ Por la hipótesis(2) ...(1)
No conocemos este ángulo, pero si lo conociéramos el problema sería relativamente fácil.
γ=ángulo ACB=ángulo BDA Por la hipótesis (3) ..........(2)
V=ángulo AVB
La distancia d es conocida. Con ella se puede aplicar la relación trigonomética:
θ(radianes) =cuerda/radio
y se puede aplicar para los ángulos V y γ ..........(figura 1)
Rt y Rv son las distancias de los planetas Tierra y Venus hasta el Sol:
d=V(Rt – Rv) = γRt .......................................(3)
Por consiguiente:
V=γRt/(Rt – Rv)...............................................(4)
Si miramos el triangulo AVC, el ángulo V es un ángulo exterior en V y por tanto la geometría nos dice que un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes a él.
V=∆ + γ o ∆= V – γ = γRt/(Rt – Rv) –γ .........(5)
Simplificando obtenemos
γ= ∆ (Rt/Rv – 1) ...............................................(6)
Si conociéramos el valor del ángulo γ (Gamma), entonces la distancia Tierra Sol sería encontrada, ya que es
γ= d/ Rt y Rt = d/γ = Distancia AB/γ .............(7)
Volvamos a la ecuación (6)
Cuánto vale ∆?
La fotografía nos entrega ese dato. Sabemos que el diámetro aparente del Sol es
En su perihelio 32’ 35.64” = 32.594’
En su afelio 31’ 31.34” = 31.522’
Promedio = 32.058’
En radianes será: 0.009325294 radianes.
De la fotografía tomamos la relación entre el diámetro del Sol y el segmento CD y el valor de esta relación va a ser la relación entre los diámetros aparentes del Sol y el diámetro aparente del segmento CD o sea el ángulo ∆. De esta manera obtenemos a ∆.
∆ = (diámetro aparente del Sol x relación CD/Diámetro del Sol), en radianes.
La tercera ley de Kepler nos dice que los objetos que orbitan alrededor del Sol cumplen la siguiente igualdad entre sus distancias al éste y sus periodos orbitales siderales.
Si Tt y Tv son los periodos siderales de la Tierra y Venus y Rt y Rv sus respectivas distancias, entonces:
Tt = 365.2564 días
Tv = 224.701 días
(Tt/Tv) 2 = (Rt/Rv) 3
Rt/Rv = (Tt/Tv) 2/3 = (365.2564/224.701) 2/3 = 1.382489641
Con ∆ y Rt/Rv conocidos, la fórmula (6) nos da el valor de γ.
Ahora con γ
Rt = d/γ = AB/γ , recordemos que es necesario que γ esté en radianes.
Nota
Si para el cálculo de ∆, en vez de tomar el promedio de los diámetros angulares del Sol, hubiéramos utilizado el diámetro real del día en que se tomaron las fotos, no hubiéramos obtenido una distancia promedio sino una distancia real.
Si el procedimiento se repite durante varios años en diferentes periodos del año cuando se da este tránsito de Venus por el Sol, obtendríamos varias distancias y la geometría analítica se encargaría de entregar los datos exactos de la elipse.
Juan Fernando Sanin Echeverri
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