Ejemplo práctico del cálculo de la distancia Tierra - Sol

Medellín, Octubre 2010

EJEMPLO PRÁCTICO DE CÓMO CALCULAR LA DISTANCIA ENTRE LA TIERRA Y EL SOL.

Tal como se mencionó en el blog anterior (Procedimiento teórico para medir la distancia Tierra – Sol), se requiere tomar dos fotografías simultáneas, desde dos puntos apartados de la Tierra, al planeta Venus, mientras hace tránsito por el disco solar.

Hemos escogido para tomar las fotografías simultaneas el Observatorio Naval ubicado en Washington D:C Latitud Norte 38º 58’ 42”, Longitud West 77º 02’ 12” y El Observatorio Paranal en Chile, Latitud Sur 24º 37’ 02” y Longitud West 70º 24’ 15”.

En laboratorio se han unido las dos fotografías en la misma escala, de tal manera que el diámetro del Sol mide 120cm y el paralaje de la proyección de Venus es de 1.506cm.

El diámetro aparente del Sol, al momento de tomar la fotografía es de 31’ 59”.

Con esta información debemos ser capaces de encontrar la distancia Tierra – Sol.

Lo primero es determinar la distancia entre los observatorios Washington que llamaremos A y Paranal que llamaremos B.

A

Lat Norte 38º 58’ 42” = 38.978º =ángulo a

Long W 77º 02’ 12” = -77.036º =ángulo b

B

Lat Sur - 24º 37’ 02” = -24.617º

Long W - 70^o 24’ 15” = -70.404^o

La trigonometría esférica nos enseña la fórmula:

cosD = sena.senb+cosa.cosb.cosP

Figura 1

D es el ángulo al centro de la esfera subtendido por los puntos A y B.

a es la latitud de A (positiva si es Norte y Negativa si es Sur)

b es la latitud de B (Positiva si es Norte y Negativa si es Sur)

P = Diferencia entre las Longitudes (Las longitudes Este se consideran positivas y las West negativas)

Para este caso

a=38.978º

b= -24.617º

P = (-70.404º -(-77.036º))=6.632º

cos D=0.4399841825 por lo que D = 63.89712808º =1.115215268 Radianes

Ahora debemos tomar una decisión respecto de que distancia escoger, si la que obtendremos en línea recta o la que se encontrará a lo largo del arco.

Escogemos la distancia recta AB y no el arco AB

Si R es el radio de la Tierra = 6400 km

Arco AB = 1.115215268x6400=7137.36 km

Distancia AB =2Rt x sen D/2= 12800xsen 31.94856404 =6773.21km

Visto desde el Sol, el diámetro aparente de los puntos A y B es la distancia recta y no la que está sobre el arco o sea d=6773.21 km.

Para el cálculo de la distancia Tierra – Sol utilizamos la Figura 2

Figura 2

Cómo habíamos visto en el blog anterior, todo el problema se reduce a determinar el ángulo γ (En Radianes)

Recordemos que:

γ= ∆ (Rt/Rv – 1) ..................................................... (1)

Figura 3

Y el ángulo ∆ se calcula con base en la fotografía de la figura 3

Si CD en la fotografía es 1.506cm y el diámetro del Sol es 120 cm, la relación CD/diámetro del Sol será: 0.01255

Esta relación se conserva entre el diámetro aparente de CD = ∆ y el diámetro aparente del Sol, que en el momento de la observación fue de 31’ 59” = 31.98333’

Por tanto:

∆ =0.01255x31.98333 = 0.401390791’ =0.000116759 Radianes

Aplicando la tercera ley de Kepler y teniendo en cuenta que

Tt: periodo de la Tierra

Tv: periodo de Venus

Tt = 365.2564 días

Tv = 224.701 días

Rt distancia de la Tierra al Sol (Desconocida)

Rv distancia de Venus al Sol,(Desconocida)

(Tt/Tv) ² = (Rt/Rv) ³ Tercera ley de Kepler.

Rt/Rv = (Tt/Tv) ^2/3 = (365.2564/224.701) ^2/3 = 1.382489641

Con ∆ y Rt/Rv conocidos, la fórmula (1) nos da el valor de γ.

γ=0.000116759(1.382489641 – 1) =0.00004465910799 Radianes

Y la distancia Tierra – Sol = Rt =6773.21/0.00004465910799=151’664695 km

Rt =151’664695 km

Ahora, como consecuencia de lo anterior podemos conocer a Rv, distancia entre Venus y el Sol.

Rt/Rv=1.382489641 , De donde Rv=151’664695/1.382489641=109’704037km.

Las distancias medias entre Tierra y Venus y el Sol son 149’600000km y 108'208000km.

Juan Fernando Sanin E

Juanfernando.sanin@gmail.com